Dấu hiệu nhận biết và cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn

Trung tâm Gia sư Hà Thành chia sẻ với các bạn học sinh 6 cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn, đây là dạng toán thường có mặt trong bài hình học thi vào lớp 10.

1) Định nghĩa tứ giác nội tiếp:

Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (Hay gọi tứ giác nội tiếp) Và đường tròn đó gọi là đường tròn ngoại tiếp của tứ giác.

2) Tính chất:

+ Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800

+ Đảo lại: Nếu một tứ giác có có tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.

3) Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

Dấu hiệu 1: (Dựa vào định nghĩa đường tròn)

Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm cố định là tứ giác nội tiếp

Tức là chứng minh tồn tại một điểm O sao cho OA = OB = OC = OD.

Dấu hiệu 2: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800 là tứ giác nội tiếp

Tứ giác ABCD có :

 = 1800 tứ giác ABCD nội tiếp

Dấu hiệu 3: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện là tứ giác nội tiếp

Định lý

Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng (180^{circ})

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O):

(left{begin{matrix} widehat{A}+widehat{B} &= &180^{circ} \ widehat{B}+widehat{D} & =& 180^{circ} end{matrix}right.)

Định lý đảo

Từ đinh lý tứ giác nội tiếp trên, ta suy ra được định lý đảo như sau: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180^{circ} thì tứ giác đó là tứ giác nội tiếp đường tròn.

4) Những cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn

Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn là dạng bài tập hình học thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Trong bài viết này Gia Sư Thành sẽ mang tới cho các em học sinh 6 phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn, đơn giản dễ hiểu phục vụ cho kì thi lên lớp 10 đạt hiệu quả cao.

Cách 1: Chứng minh cho bốn đỉnh của tứ giác cách đều một điểm nào đó.

Các bạn thấy rằng nếu cho trước một đường tròn tâm O, bán kính R thì bất kì điểm nào nằm trên đường tròn cũng cách đều tâm O một khoảng bằng R. Dựa vào đây để ta có một cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.

Cụ thể: Cho một điểm I cố định và tứ giác ABCD. Nếu các bạn chứng minh được 4 điểm A, B, C, D cách đều điểm I, tức là IA=IB=IC=ID thì điểm I chính là tâm đường tròn đi qua 4 điểm A,B, C, D. Hay nói cách khác tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm I bán kính IA.

Cách 2: Chứng minh tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 1800

Cụ thể: Cho tứ giác ABCD. Nếu các bạn chứng minh được A^+C^=1800 hoặc B^+D^=1800 thì tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn.

Cách 3: Chứng minh từ hai đỉnh cùng kề một cạnh cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau.

Tức là: cho tứ giác ABCD, nếu các bạn chứng minh được rằng DACˆ và DBCˆ bằng nhau và cùng nhìn cạnh DC thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn.

Đây chỉ là một ví dụ cho trường hợp này, các bạn có thể vẽ hình ra và dựa vào 1 ví dụ này để chỉ ra các trường hợp khác nhé.

Cách 4: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối bằng thì tứ giác đó nội tiếp được trong một đường tròn.

Cho tam giác ABCD. Nếu các bạn chứng minh được A^+C^=B^+D^ thì tức giác ABC cũng nội tiếp trong một đường tròn. Đây có thể nói là một trường hợp đặc biệt của trường hợp 2.

Cách 5: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó thì nội tiếp được trong một đường tròn.

Tức là nếu cho tam giác ABCD và các bạn chứng minh được góc ngoài tại đỉnh A mà bằng góc trong tại đỉnh C (tức là góc C của tứ giác đó) thì ABCD cũng nội tiếp đường tròn.

Cách 6: Chứng minh bằng phương pháp phản chứng

Chú ý: Các bạn có thể chứng minh tứ giác ABCD là một trong những hình đặc biệt sau: Tứ giác ABCD là hình thang cân, hình chữ nhật, hình vuông.

Xem video hướng dẫn cách chứng minh Tứ Giác Nội Tiếp (Nguồn thầy Cường):

Trên đây là 6 Cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn. Hy vọng với 6 cách đơn giản này các bạn sẽ giải quyết được bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp. Hãy nghiên cứu thật kỹ những phương pháp này để lựa chọn và áp dụng phù hợp vào từng bài toán các bạn nhé!